【人教版】高中英语选择性必修第二册 (A版): 数字的律动：从生活观察到数列定义

观察月亮从新月到满月的盈亏过程，或者王芳 1 到 17 岁身高的逐年记录。这些数据并不是杂乱无章的，而是按照时间的先后次序排列而成的。在数学中，这种按确定顺序排列的一列数，能帮助我们捕捉离散世界的演变规律。这就是数列——数学中描述动态规律的重要模型。

数列的定义与核心特征

数列的本质是一种特殊的函数，它的自变量是项的“位置”或“序号” $n$，因变量是该位置对应的数值 $a_n$。通过通项公式，我们可以像使用函数解析式一样，预知数列中任意位置的项。

关键要素：

次序： 数列中的项必须按确定顺序排列，改变顺序即变为不同的数列。
离散性： 定义域是正整数集 $\mathbb{N}^*$ 或其有限子集，因此图象是坐标系中一串孤立的点。
对应关系： 第 $n$ 项 $a_n$ 与序号 $n$ 之间存在确定的函数映射关系 $a_n = f(n)$。

数列是特殊的函数。如果数列 $\{a_n\}$ 的第 $n$ 项 $a_n$ 与序号 $n$ 之间的关系可以用一个式子表示，该式称为该数列的通项公式。

$$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots \quad \text{简记为} \ \{a_n\}$$

QUESTION 1

下列关于数列的说法正确的是：

数列 $1, 2, 3, 4$ 与 $4, 3, 2, 1$ 是同一个数列

数列中的项不可以重复出现

数列可以看作是一个定义域为正整数集（或其子集）的函数

数列的图象是一条连续的直线或曲线

QUESTION 2

根据数列的前 4 项：$1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \dots$，其通项公式可能是：

$a_n = \frac{(-1)^n}{n}$

$a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

$a_n = \frac{1}{n}$

$a_n = (-1)^n \cdot n$

QUESTION 3

如果数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = n^2 + 2n$，那么 $120$ 是这个数列的第几项？

第 $12$ 项

第 $10$ 项

第 $8$ 项

不是该数列的项

QUESTION 4

在谢尔宾斯基三角形中，随着迭代次数 $n$ 的增加，着色三角形的个数依次为 $1, 3, 9, 27 \dots$，则第 $n$ 个图形中着色三角形的个数为：

$3n$

$3^n$

$3^{n-1}$

$n^3$

QUESTION 5

数列 $2, 0, 2, 0, \dots$ 的一个通项公式可以是：

$a_n = (-1)^{n+1} + 1$

$a_n = (-1)^n + 1$

$a_n = \cos(n\pi)$

$a_n = 2n - 2$

QUESTION 6

如果一个数列从第 $2$ 项起，每一项都大于它的前一项，该数列称为：

有穷数列

递增数列

递减数列

常数列

QUESTION 7

已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = \frac{n^2+n}{2}$，则 $a_5$ 等于：

QUESTION 8

数列 $-1, 1, -1, 1, \dots$ 的通项公式 $a_n = (-1)^n$ 表现了数列的什么特征？

它是递增数列

它是递减数列

它是一个摆动数列

它是一个有穷数列

QUESTION 9

数列的项数可以是无限的吗？

可以，称为无穷数列

不可以，数列必须有终点

只有常数列可以是无限的

只有等差数列可以是无限的

挑战：数列的逻辑与建模

从离散规律到严格证明

Task 1

写出下列数列的前 10 项, 并作出它们的图象: (1) 所有正整数的倒数按从小到大的顺序排列成的数列; (2) 当自变量 $x$ 依次取 1, 2, 3, ... 时, 函数 $f(x) = 2x + 1$ 的值构成的数列; (3) $a_n = \begin{cases} 2, & n \text{ 为奇数} \\ n+1, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$

参考答案：
(1) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$。图象为第一象限内反比例函数曲线上的孤立点。
(2) $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21$。图象为斜率为 2 的直线上的一串点。
(3) $2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 9, 2, 11$。图象表现为奇数项在直线 $y=2$ 上，偶数项在直线 $y=x+1$ 上。

Task 2

已知数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1=1$, 递推公式为 $a_n = 1 + \frac{1}{a_{n-1}} (n \ge 2)$, 写出这个数列的前 5 项。

参考答案：
$a_1 = 1$
$a_2 = 1 + \frac{1}{1} = 2$
$a_3 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$a_4 = 1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$
$a_5 = 1 + \frac{1}{5/3} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
前 5 项为: $1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}$。

Task 3

观察下列数列的特点, 用适当的数填空: $(\quad), -4, 9, (\quad), 25, (\quad), 49$，并写出一个通项公式。

参考答案：
观察可知各项的绝对值是 $n^2$，且正负交替出现。第 2、4、6 项为负。
填空：$1$, -4, 9, $-16$, 25, $-36$, 49。
通项公式：$a_n = (-1)^{n+1} \cdot n^2$。

Task 4

已知数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 均为等差数列，公差为 $d_1, d_2$。若 $c_n = a_n + 2b_n$, (1) $\{c_n\}$ 是等差数列吗？(2) 若 $d_1=d_2=2, a_1=b_1=1$, 求 $\{c_n\}$ 通项。

参考答案：
(1) 是。$c_{n+1}-c_n = (a_{n+1}-a_n) + 2(b_{n+1}-b_n) = d_1 + 2d_2$，为常数。故 $\{c_n\}$ 是等差数列。
(2) $c_1 = a_1 + 2b_1 = 3$。新公差 $d = d_1 + 2d_2 = 2 + 2(2) = 6$。通项公式为 $c_n = 3 + (n-1)6 = 6n - 3$。

Task 5

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，求证 $\frac{a_m - a_n}{m-n}=d$。你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？

参考答案：
证明：$a_m = a_1 + (m-1)d, a_n = a_1 + (n-1)d$。则 $a_m - a_n = (m-n)d$。由于 $m \neq n$，两边除以 $m-n$ 得 $\frac{a_m-a_n}{m-n} = d$。
几何解释：数列的项分布在直线 $y = dx + (a_1-d)$ 上。$\frac{a_m-a_n}{m-n}$ 恰好是过两点 $(m, a_m)$ 和 $(n, a_n)$ 的直线的斜率公式，其斜率恒等于公差 $d$。

Task 6

用数学归纳法证明等差数列前 $n$ 项和公式 $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 时，若在 $n=k$ 步证明到 $n=k+1$ 时出现错误，通常错在哪里？

参考答案：
常见错误包括：(1) 未能使用 $n=k$ 时的假设，而是直接利用结论；(2) 在 $S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$ 的转换中，未正确代入等差数列的通项性质；(3) 忽略了 $n=1$ 的基础验证步。

Task 7

瑞典数学家科赫构造的雪花图案中，若原正三角形（图①）边长为 1，周长记为 $C_1$。每一步将每条边三等分并向外作小正三角形。求 $C_4$。

参考答案：
$C_1 = 3$。每一步迭代，边的数量变为原来的 4 倍，而每条边的长度变为原来的 $1/3$。因此周长变为原来的 $4/3$ 倍。
$C_n = 3 \cdot (\frac{4}{3})^{n-1}$。
$C_4 = 3 \cdot (\frac{4}{3})^3 = 3 \cdot \frac{64}{27} = \frac{64}{9}$。

Task 8

火箭发射 $t\,s$ 后，其高度为 $h(t)=0.9t^2$。求：(1) 在 $1 \le t \le 2$ 内的平均速度；(2) $10\,s$ 时的瞬时速度。请思考离散时间点的高度如何构成数列。

参考答案：
(1) 平均速度 $v = \frac{h(2)-h(1)}{2-1} = 0.9(4-1) = 2.7$ m/s。
(2) 瞬时速度为导数 $h'(t) = 1.8t$。当 $t=10$ 时，$v = 18$ m/s。
数列联系：若我们只观察整数秒的高度 $h(1), h(2), \dots, h(n)$，它们构成一个通项为 $a_n = 0.9n^2$ 的数列。